Wortel (wiskunde)

Dit artikel is gesjreve (of begós) in 't Mestreechs. Laes hie wie v'r mit de versjillende saorte Limburgs ómgaon.

---

De wortel is 'n wiskundege bewèrking vaan getalle. 't Gief twie definities. In inge zin is de wortel e getal wat, vermeinegvöldeg mèt ziechzelf, e vaan te veure vasgestèld aander getal x moot oplievere. In breie zin is de wortel e getal wat, verluf tot de (veuraof vasgestèlde) mach y, e vasgestèld getal x oplievert. De wortel in inge zin weurt soms, veur de dujelekheid, twiedemachswortel of veerkantswortel geneump.

't Vinde vaan 'ne wortel bij e getal weurt worteltrèkke geneump. Worteltrèkke is 't tegedeil vaan zoewel machsverlufte es logaritme. De veerkantswortel oet x is naovenant geliek aon $x^{\frac {1}{2}}$; d'n daardemachswortel oet x is geliek aon $x^{\frac {1}{3}}$. 't Tegedeil vaan de veerkantswortel specifiek hèt 't kedraot.

Notatie

De wortel weurt genoteerd mèt 't teike √. De wortel oet 100 sjrijf me daan es √100. 't Is de bedoeling tot de start vaan 't teike aon de rechterkant euver alle ciefers vaan 't betroffe getal doorlöp. In drök- en computerteks is dat evels nog neet zoe gemekelek. Mèt speciaol sofware kin me die notatie wel good kriege: ${\sqrt {100}}$.

Wèlt me de wortel mèt 'n aander mach es 2 oetbeelde, daan kump e klei getal bove 't wortelteike te stoon: de daardemachswortel oet 125 sjrijf me es ${\sqrt[{3}]{125}}$.

Eigesjappe vaan twiedemachswortele

Oet natuurleke getalle

De wortel vaan e natuurlek getal is ofwel 'n aander natuurlek getal, ofwel 'n irrationaol getal. De mieste wortele oet natuurleke getalle zien irrationaol.

E veurbeeld vaan 'ne natuurleke wortel is de wortel oet 25. De wortel oet 25 is vief (${\sqrt {25}}=5$), want 5 × 5 = 25. De ierste èlf natuurleke kedraote - natuurleke getalle mèt 'ne natuurleke wortel - zien $0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100$.

Natuurleke getalle die tösse de natuurleke kedraote ligke, höbbe 'nen irrationaole wortel. Dat beteikent tot de wortel neet gans is en ouch neet gebroke, meh tot 't nao de komma ieweg doorgeit zoonder dujelek systeem. De wortel oet twie is beveurbeeld zoeget 1,4 en daodoor te benaodere es ${\frac {7}{5}}$. Es me dat oetwèrk, kump me evels neet op 2 oet: $\left({\frac {7}{5}}\right)^{2}={\frac {49}{25}}=1,96\neq 2$. 't Kedraot vaan e gebroke getal is ummer 'n aander gebroke getal; dao-oet kinne v'r dus opmake tot, es de wortel vaan e reëel getal neet natuurlek is, tot 'r daan ouch neet rationaol is. 'n Wijer benaodering vaan de wortel oet 2 tuint dat al euvertuigend: ${\sqrt {2}}=1,41421356237...$.

Oet gebroke getalle

De wortel oet e positief gebroke getal is ofwel 'n aander gebroke getal, ofwel e rationaol getal. Wiedoet de mieste gebroke getalle höbbe 'nen irrationaole wortel. 't Euverwiech vaan de irrationaol wortele is hei nog väöl groeter es bij de wortele oet natuurleke getalle. E gebroke getal heet naomelek allein daan 'ne rationaole wortel es zoewel d'n tèller es de neumer e natuurlek kedraot zien. (Veurweerde is wel tot de breuk zoe wied meugelek versumpeld is.) De wortel oet 2,25 is beveurbeeld 1,5, want $\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}={\frac {9}{4}}$. Is ein vaan de twie eleminte gei natuurlek kedraot, daan weurt de wortel irrationaol. Veurbeelder: ${\sqrt {\frac {3}{4}}}=0,8660254037844386...$ en ${\sqrt {\frac {16}{13}}}=1,1094003924504583...$.

Oet 't bovestoonde kin me ouch opmake tot de wortel oet getalle tösse nul en ein hoeger is es 't groondtal, zij 't ummer nog wel kleinder es 1.

Oet irrationaol getalle

De wortel oet e positief irrationaol getal is zelf ouch ummer 'n irrationaol getal.

Oet negatieve getalle

Negatieve getalle höbbe noets e reëel getal es veerkantswortel, n'importe of 't noe e gans, gebroke of irrationaol getal is. Dat zit zoe: positieve getalle höbbe e positief kedraot, nul heet ziechzelf es kedraot, negatieve getalle höbbe weer e positief kedraot (negatief × negatief = positief). Veur de wortel oet e negatief getal heet me 'n imaginair getal nujeg. 'n Imaginair getal is e väölvoud vaan de imaginair einheid i (zuug ouch complex getal).

't Getal i is gedefinieerd es ${\sqrt {-1}}$; 't kedraot vaan i is dus -1. Veur aander negatieve getalle nump me de wortel oet 't positief equivalent en vermeinegvöldeg me dat mèt i. Heioet volg:

${\sqrt {-9}}=3i$

${\sqrt {-\left({\frac {4}{9}}\right)}}={\frac {2}{3}}i$

${\sqrt {-2}}=i{\sqrt {2}}\approx 1,41421356237i$

Oet imaginair getalle

Imaginair getalle höbbe zelf ouch weer wortele. 't Trèkke vaan die wortele huurt gooddeils tot 't terrein vaan de hoeger wiskunde.

De wortel oet i is geliek aon ${\sqrt {\frac {1}{2}}}+i{\sqrt {\frac {1}{2}}}$. Dit kin me bewieze door 't kedraot oet te wèrke.

$\left({\sqrt {\frac {1}{2}}}+i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}+2\cdot {\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot i{\sqrt {\frac {1}{2}}}-{\frac {1}{2}}$ (jummers: (a + b)² = a² + 2ab + b²).

De twie kedraote in dees verglieking lufte ziech oonderein op, zoetot me allein 't dobbelproduk euverhèlt. Wèrk me dat wijer oet:

$2\cdot {\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot i{\sqrt {\frac {1}{2}}}=2\cdot {\frac {1}{2}}i=i$

q.e.d.

Eigesjappe vaan daardemachswortele

Daardemachswortele gedrage ziech weer aanders. V'r goon ins kort draon veurbij.

Oet natuurleke getalle

Ouch hei gelt: de daardemachswortel oet e natuurlek getal is ofwel 'n aander natuurlek getal, ofwel 'n irrationaol getal. De reies daoveur zien dezelfde wie heibove opgegeve. E veurbeeld vaan e natuurlek getal mèt 'ne natuurleken daardemachswortel is ach, want $2\cdot 2\cdot 2=8$. De ierste èlf getalle mèt 'ne natuurleken daardemachswortel zien $0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000$. Getalle die daotösse ligke, höbbe geine rationaolen daardemachswortel (beveurbeeld ${\sqrt[{3}]{90}}=4,4814047465571647...$.

Oet gebroke getalle

D'n daardemachswortel oet e gebroke getal is allein rationaol es tèller en neumer 'n natuurleke daarde mach zien. ${\sqrt[{3}]{\frac {64}{27}}}$ heet de rationaol oplossing ${\frac {4}{3}}$, meh ${\sqrt[{3}]{\frac {10}{9}}}$ heet de irrationaol oetkoms $1,0357441686512863...$.

Oet negatieve getalle

In tegestèlling tot de veerkantswortele hoof me neet nao imaginair getalle te griepe es me ze d'n daardemachswortel oet e negatief getal trèk. E negatief getal tot de daarde mach lievert naomelek gewoen 'n aander negatief getal op. Dit beteikent tot d'n daardemachswortel oet -8 gewoen -2 is, want $-2\cdot -2\cdot -2=-8$.

Mèt hoeger machte

De veerde-, vijfde-, zèsde- en hoegeremachswortele oet positieve getalle (en oet nul) versjèlle neet wezelek vaan de twiede- en daardemachswortele. Me moot noe e getal vinde wat, verluf tot beveurbeeld de vijfde of zevende mach, de gewunsden x oplievert. Es de n-demachswortel oet 'ne wèllekäöregen x e rationaol getal is, en n is 'n eve getal, daan is de veerkantswortel oet x ouch rationaol. 'tzelfde gelt wienie dezen n-demachswortel e natuurlek getal is: daan is de veerkantswortel ouch natuurlek. Veurbeeld: ${\sqrt {64}}\subset \mathbb {N}$ (de wortel oet 64 maak deil oet vaan de verzameling natuurleke getalle) want ${\sqrt[{6}]{64}}=2$ (wat e natuurlek getal is) en 6 is e väölvoud vaan 2.

Oet 't bovestaonde volg wijer tot me oet 64 ouch 'ne natuurleken daardemachswortel kint trèkke; 6 is jummers ouch e väölvoud vaan 3. Me kint dit alles bewieze:

$64=8^{2}=4^{3}=2^{6}$

of, umgekierd:

${\sqrt[{6}]{64}}={\sqrt[{3}]{8}}={\sqrt {4}}=2$

Bij negatieve getalle is de situatie geliekaardeg. Es de n-demachswortel vaan 'ne negatieven x 'n eve getal is, daan is de oetkoms imaginair; is de n ooneve, daan krijg me e negatief, dus reëel getal.

Mèt 'n aander mach es n ≥ 2

Wortele weure in principe allein getrokke mèt natuurleke getalle vaan 2 en hoeger es mach, meh dat hoof neet. De 'ierstemachswortel' oet e getal x is geliek aon x. 't Kedraot vaan e getal x kin me ouch sjrieve es ${\sqrt[{\frac {1}{2}}]{x}}$, al is dat umslechteg en daorum neet gebrukelek. Wortele mèt gebroke of irrationaol machte zien veural 't terrein vaan de logaritme, boe-in de vraog 'welk getal moot iech vinde um in de y-de mach 't getal x te kriege' weurt umgekierd tot 'tot welke mach moot iech x verluffe um y te kriege.

Wortele mèt negatieve machte kinne ouch. Die me me vereinvajdege mèt de formuul ${\sqrt[{-y}]{x}}={\sqrt[{y}]{\frac {1}{x}}}$. Um e veurbeeld te geve: ${\sqrt[{-2}]{4}}={\sqrt {\frac {1}{4}}}={\frac {1}{2}}$.

Allein nuldemachswortele zien oonmeugelek. Dit kin me bewieze door, via de stèlling ${\sqrt[{y}]{x}}=x^{\frac {1}{y}}$, deze wortel um te klappe: ${\sqrt[{0}]{x}}=x^{\frac {1}{0}}$. Dit vreug in de oetwèrking 'n deiling door nul, wat oetgeslote is.